3D-Druck

Vor kurzem hat das Konstruktionsbüro der Universität Oxford einen 3D-Drucker erworben, und in der Einrichtungsphase des Druckers wurden kostenlose Ausdrucke angeboten. Dies war die perfekte Gelegenheit für mich, eine der abstrakten sphärischen Funktionen aus meiner Arbeit zum Leben zu bringen. Die Funktion ist eng verwandt mit den Ikosaeder, einem regulären Polyeder, und zwar in dem Sinne, dass die Funktion eine ikosaedrische Rotationssymmetrie aufweist. Eine genauere Beschreibung der Funktion sowie ihr Zusammenhang mit quantenmechanischer Verschränkung befindet sich weiter unten.

icosahedron in mathematica icosahedron on table

Im ersten Schritt des Druckprozesses wurde das dreidimensionale Objekt durch Abscheiden eines flüssigen Polyacrylat schichtweise ausgedruckt. Hierbei wurden Öffnungen und Hohlräume mit Wachs ausgefüllt, um Stabilität zu gewährleisten. Im zweiten Schritt wurde das redundante Wachs in einem Ofen weggeschmolzen. Beide Schritte benötigen selbst mit modernen 3D-Drucker enorm viel Zeit. Für mein Objekt (5cm x 5cm x 5cm) dauerte der erste Schritt 10 Stunden, und der zweite 4 Stunden!

icosahedron in wax icosahedron after wax has been melted away

Ich konnte die Erzeugung meines Objekts nicht persönlich verfolgen, aber die Leute vom Konstruktionsbüro schickten mir die zwei tollen Bilder oben, welche das Objekt nach dem Drucken und Entfernen des Wachses zeigen. Auf dem linken Bild ist der Acrylkörper mit Wachs bedeckt, und im rechten Bild wurde das Wachs entfernt. Das Video unten zeigt das Modell sowie die verwendete Software zur Erstellung und Analyse des Polygon-Drahtmodells, welches vom Drucker benötigt wurde.

 

Mathematischer und physikalischer Hintergrund

Die Funktion, welche die Oberfläche des 3D-Objekts beschreibt, hat eine relativ einfache Form. In Kugelkoordinaten wird die Neigungswinkel mit θ ∈ [0,π] bezeichnet, und der Azimutwinkel mit φ ∈ [0,2π). Damit lässt sich die komplexwertige Funktion f(θ,φ) definieren:

main equation

Die verwendete Funktion ist das Absolutquadrat der obigen, d.h.

squared absolute of f

Wozu dient diese Funktion? Sie kommt in meiner Arbeit über Quantenverschränkung vor. Verschränkung ist eine wichtige Ressource für Anwendungen der Quanteninformation wie z.B. Quantencomputer, Quantenteleportation oder Quantenkommunikation. Ich habe nach den maximal verschränkten Quantenzuständen von bestimmten Gruppen von Zuständen gesucht, insbesondere den permutationssymmetrischen Quantenzuständen. Wie ich in einer Publikation gezeigt habe, ermöglicht die zugrunde liegende Theorie, dass solche Zustände durch sphärische Funktionen dargestellt werden können, welche die gemeinsame Eigenschaft haben, dass das umschlossene "Volumen" stets das gleiche ist. Das obige Objekt stellt den mutmaßlichen maximal verschränkten symmetrischen Quantenzustand von 12 Qubits dar. Würde ich irgendeinen anderen symmetrischen 12 Qubit-Zustand mit einem 3D-Drucker ausdrucken, würde er genau die gleiche Menge an Polyacrylat benötigen (vorausgesetzt, dass keine Skalierung stattfindet). Das Maß an Verschränkung ist gegeben durch das globale Maximum der sphärischen Funktion, oder - anders ausgedrückt - vom "höchsten Berg" auf dem Objekt. Je kleiner das globale Maximum ist, desto mehr Verschränkung besitzt der Quantenzustand. Dadurch wird intuitiv klar, dass das obige Objekt den maximal verschränkten symmetrischen 12 Qubit-Zustand darstellt: Eine kleine "Verzerrung" würde die Höhe der zwanzig identischen globalen Maxima insofern ändern, als dass einige größer und andere kleiner werden. Ausschlaggebend für das Maß der Verschränkung ist jedoch nur das globale Maximum, und eine Vergrößerung desselben ginge mit einer Abnahme der Verschränkung einher.